\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Vi præsenterer nedenfor en række temaopgaver i matematik, der typisk trækker på emner fra 1-års undervisning i matematik på universitetsniveau såsom matrixregning, komplekse tal, differentialligninger og funktioner af flere variable. De første 11 temaopgaver er særligt tilpasset InterMat og har været brugt som “miniprojekter” i InterMats efterårsforløb. De resterende temaopgaver har indgået i den løbende undervisning som “temaøvelser” på DTU’s Matematik 1-kursus.

Materialet stilles til rådighed for enhver under sædvanlige Creative Commons (by-nc-sa) regler. Temaopgaverne har variende omfang og sværhedsgrad, men det gennemsnitlige tidsbrug skønner vi at være to til tre moduler af 1.5 timer i InterMat og et fire-timers modul på DTU. De er egnet til gruppearbejde, men der må nok forudsættes nogen hjemmeforberedelse.

I de “anvendelsesorienterede” temaopgaver indgår der ofte elementer af matematisk modellering, men vi understreger at der ofte blot leges med betingelser fra virkeligheden, idet den primære hensigt har været at lave inspirerende eksempler på brug af diverse matematiske metoder. Bemærk også at en del af temaopgaverne foreligger i forskellige versioner. Endelig: når der angives et bestemt CAS-værktøj, fx Maple, kan opgaven oftest relativt nemt overføres til andre konkurrerende CAS-værktøjer.

For de fleste af temaopgaverne findes der mere eller mindre komplette løsningsforslag beregnet for lærere. Skriv evt. til Karsten Schmidt (ksch@dtu.dk) for at høre nærmere om dette forsåvidt angår enkelte temaopgaver.

Liste over projektopgaver:

Matematisk Emne$\,\,\,\,\,\,$ Titel på projektogave$\,\,\,\,\,\,\,\,\,$
01 Polynomier og deres rødder Algebraens fundamentalsætning
02 Funktioner af flere variable Eksploderende raket
03 Optimering FytoplanktonOptimering
04 Lineær programmering Optimeringsproblemer, se Video-Intro
05 Leslie-matricer (ver. 2024) Rottepopulationer
06 Gruppeteori RSA-kryptering
07 Differentialgeometri Røde blodlegemer
08 Parametrisk design Skovtårnet
09 Polynomier og deres rødder Tredjegradspolynomiet
10 Differentialligninger Koblede væskebeholdere
11 Differentialligninger (ver. nov/2023) Eks. fra historie, fysik og kemi med bilag
12 Andenordens differentialligninger Teori for andenordens differentialligninger
13 Lineære og affine afbildninger Lineære deformationer
14 Parameterfremstiling og integralrening Undersøgelse af arkitektur 1
15 Parameterfremstiling og integralrening Undersøgelse af arkitektur 2
16 Integralregning i flere Variable Nedbøjning af bjælker
17 Matrinxregning og optimering Brudbetingelser for materialer
18 Affine afbildninger i 2D og 3D Geometrisk deformationsteori
19 Systemer af differentialligninger Dynamisk populations-model for tobis
20 Lineære ligningssystemer og matrixregning Strømmene i elektriske netværk 1
21 Lineære ligningssystemer og Maple-programmering Strømmene i elektriske netværk 2
22 Leslie-matricer Optimering af fiskeudbytte
23 Systemer af differentialligninger Simpel model for gærglykolyse
24 Taylor, L´Hospital og Størrelsesorden Grænseværdi af brøker og størrelsesorden
25 Lineære afbildninger og Maple-programmering Itererede lineære transformationer
26 Systemer af differentialligninger Koblede saltopløsninger 1
27 Systemer af differentialligninger Koblede saltopløsninger 2
28 Lineære afbildninger i planen og rummet Affine deformationer
29 Matrixregning og Markov-Processer Let the Game begin!
30 Lineære ligningssystemer Cellers metaboliske netværk
31 Systemer af differentialligninger Nedbrydning af pesticider
32 Integralregning i flere Variable Optimal Plankton
33 Andenordens differentialligninger Et el-netværk af typen RCL
34 Kuglekoordinater og funktioner af flere variable Beskrivelse af raket-eksplosio
35 Taylor-approksimation og programmering i Maple Reelle og komplekse funktioner
36 Taylor-approksimationer og restfunktioner Fejlvurderinger ved approksimation
37 Affine afbildninger i planen og Hack’s lov Skala-invarians af flodsystemer
38 Vektoranalyse Skovbrand (kort version)
39 Vektoranalyse Skovbrand (fuld version)
40 Integralregning i flere Variable Klimamodel for Snowball Earth
41 Systemer af differentialligninger Temperatursvingninger
42 Lineære ligningssystemer og matrixregning Varmeledning i metalgitte