\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

$ $

Opg 1: Opvarmningsopgave: Taylor i én variabel

Til funktionen $\,f(x)\,$ knyttes et n’te-grads taylorpolynomium med udviklingspunkt i $\,x_0\,$ ved formlen:

$$ P_{n}(x,y)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac 1{2!}\,f''(x_0)(x-x_0)^2+\cdots+\frac 1{n!}\,f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n\,.$$

Vi undersøger i det følgende funktionen

$$\,f(x)=x^2 \e^{-x}\,.$$
A

Brug dit matematikværktøj til at tegne grafen for $\,f\,$ i intervallet $\,-2≤x≤10\,$ og find grafisk lokale maksima og minima.

B

Bestem udtryk for $\,f’(x)\,$ og find stationære punkter ved at løse ligningen $\,f’(x)=0\,.$

C

Afprøv nu $\,f’’$-kriteriet: Bestem fortegnet for den andenafledede af $\,f\,$ i de stationære punkter og konkludér (hvis det er muligt).

D

Kig igen på grafen for $\,f\,,$ og beskriv hvordan $\,f’’\,$ karakteriserer funktionen i de stationære punkter.

E

Brug dit matematikværktøj til at beregne forskellige højeregrads taylorpolynomier, og plot dem sammen med den givne funktion. Prøv f.eks. $\,P_{7}(x)\,$ med forskellige udviklingspunkter. Har du kommentarer?

Opg 2: Lokale maksima og minima i to variable

Vi undersøger i denne opgave funktionen

$$\,f(x,y)=2x^3-6xy+3y^2\,.$$
A

Start med at tegne grafen for $\,f\,$ når $\,x\in\left[-2,2\right]\,$ og $\,y\in\left[-2,2\right]\,.$

B

Find de partielle afledede for $\,f\,$ både i hånden og med dit matematikværktøj.

C

Find de stationære punkter for $\,f\,,$ både i hånden og med dit matematikværktøj.

Ved det approksimerende polynomium (Taylorpolynomiet) af første orden for en funktion $\,f\,$ af to variable med udviklingspunktet $\,(x_0,y_0)\,$ forstås funktionen:

$$P_1(x,y)=f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)(x-x_0)\,.$$

Grafen for $\,P_1\,$ kaldes tangentplanen.

D

Bestem det approksimerende polynomium (Taylorpolynomiet) af første orden for $\,f\,$ med udviklingspunktet $\,(\frac 12,\frac 12)\,.$ Plot tangentplanen sammen med grafen for $\,f\,.$

E

Bestem det approksimerende polynomium (Taylorpolynomiet) af første orden for $\,f\,$ med udviklingspunkt i hvert af de stationære punkter, plot dem sammen med grafen for $\,f\,$ og kommentér.

F

Find de fire partielle afledede af anden orden for $\,f\,$ både i hånden og med dit matematikværktøj, og opstil dem i den såkaldte hessematrix $\,\mathbf H\,.$

Ved det approksimerende polynomium (Taylorpolynomiet) af anden orden for en funktion $\,f\,$ af to variable med udviklingspunktet $\,(x_0,y_0)\,$ forstås funktionen:

$$P_2(x,y)=P_1(x,y)+\frac 12 \left[\,x-x_0\,\, y-y_0\,\right]\cdot \mathbf H \cdot \begin{matr}{c}x-x_0\newline y-y_0\,\end{matr}\,.$$
G

Bestem det approksimerende polynomium (Taylorpolynomiet) af anden orden for $\,f\,$ med udviklingspunkt i hvert af de stationære punkter, plot dem sammen med grafen for $\,f\,$ og kommentér!

For en funktion af to variable svarer Determinant kriteriet til $\,f’’$-kriteriet for en funktion af én variabel. Det siger:

  1. Hvis Det$(\mathbf H)> 0\,$ i et stationært punkt, har $\,f\,$ lokalt ekstremum i det punkt.
  2. Hvis Det$(\mathbf H)< 0\,$ i et stationært punkt, har $\,f\,$ saddelpunkt i det punkt.
  3. Hvis Det$(\mathbf H)= 0\,$ i et stationært punkt, vides det ikke om $\,f\,$ har lokalt ekstremum, saddelpunkt eller ingen af delene i det punkt. Videre undersøgelse kræves.
H

Bestem fortegnet for Det$(\mathbf H)\,$ i hvert af de stationære punkter. Stemmer resultatet med dine grafiske iagttagelser i spørgsmål G?

Determinant-kriteriet kan skærpes med egenværdi kriteriet: Det siger:

  1. Hvis begge egenværdier for $\,\mathbf H\,$ er positive i et stationært punkt, har $\,f\,$ lokalt minimum i det punkt.
  2. Hvis begge egenværdier for $\,\mathbf H\,$ er negative i et stationært punkt, har $\,f\,$ lokalt maksumum i det punkt.
  3. Hvis egenværdierne for $\,\mathbf H\,$ i et stationært punkt har forskelligt fortegn, har $\,f\,$ saddelpunkt i det punkt.
  4. Hvis mindst den ene af egenværdierne er lig med 0, vides det ikke om $\,f\,$ har lokalt ekstremum, saddelpunkt eller ingen af delene i det punkt. Videre undersøgelse kræves.
I

Bestem egenværdierne for $\,\mathbf H\,$ i hvert af de stationære punkter. Stemmer resultatet med dine grafiske iagttagelser i spørgsmål G?

Opg 3: Lokale maksima og minima i to variable

Gentag undersøgelsen i opgave 2 med den følgende funktion:

$$f(x,y)=x\cdot y\cdot\e^{-\frac{x^2+y^2} 2}\,.$$