Opg 1: Opvarmningsopgave: Taylor i én variabel
Til funktionen f(x) knyttes et n’te-grads taylorpolynomium med udviklingspunkt i x0 ved formlen:
Vi undersøger i det følgende funktionen
Brug dit matematikværktøj til at tegne grafen for f i intervallet −2≤x≤10 og find grafisk lokale maksima og minima.
Bestem udtryk for f′(x) og find stationære punkter ved at løse ligningen f′(x)=0.
Afprøv nu f″-kriteriet: Bestem fortegnet for den andenafledede af f i de stationære punkter og konkludér (hvis det er muligt).
Kig igen på grafen for f, og beskriv hvordan f″ karakteriserer funktionen i de stationære punkter.
Brug dit matematikværktøj til at beregne forskellige højeregrads taylorpolynomier, og plot dem sammen med den givne funktion. Prøv f.eks. P7(x) med forskellige udviklingspunkter. Har du kommentarer?
Opg 2: Lokale maksima og minima i to variable
Vi undersøger i denne opgave funktionen
Start med at tegne grafen for f når x∈[−2,2] og y∈[−2,2].
Find de partielle afledede for f både i hånden og med dit matematikværktøj.
Find de stationære punkter for f, både i hånden og med dit matematikværktøj.
Ved det approksimerende polynomium (Taylorpolynomiet) af første orden for en funktion f af to variable med udviklingspunktet (x0,y0) forstås funktionen:
Grafen for P1 kaldes tangentplanen.
Bestem det approksimerende polynomium (Taylorpolynomiet) af første orden for f med udviklingspunktet (12,12). Plot tangentplanen sammen med grafen for f.
Bestem det approksimerende polynomium (Taylorpolynomiet) af første orden for f med udviklingspunkt i hvert af de stationære punkter, plot dem sammen med grafen for f og kommentér.
Find de fire partielle afledede af anden orden for f både i hånden og med dit matematikværktøj, og opstil dem i den såkaldte hessematrix H.
Ved det approksimerende polynomium (Taylorpolynomiet) af anden orden for en funktion f af to variable med udviklingspunktet (x0,y0) forstås funktionen:
Bestem det approksimerende polynomium (Taylorpolynomiet) af anden orden for f med udviklingspunkt i hvert af de stationære punkter, plot dem sammen med grafen for f og kommentér!
For en funktion af to variable svarer Determinant kriteriet til f″-kriteriet for en funktion af én variabel. Det siger:
- Hvis Det(H)>0 i et stationært punkt, har f lokalt ekstremum i det punkt.
- Hvis Det(H)<0 i et stationært punkt, har f saddelpunkt i det punkt.
- Hvis Det(H)=0 i et stationært punkt, vides det ikke om f har lokalt ekstremum, saddelpunkt eller ingen af delene i det punkt. Videre undersøgelse kræves.
Bestem fortegnet for Det(H) i hvert af de stationære punkter. Stemmer resultatet med dine grafiske iagttagelser i spørgsmål G?
Determinant-kriteriet kan skærpes med egenværdi kriteriet: Det siger:
- Hvis begge egenværdier for H er positive i et stationært punkt, har f lokalt minimum i det punkt.
- Hvis begge egenværdier for H er negative i et stationært punkt, har f lokalt maksumum i det punkt.
- Hvis egenværdierne for H i et stationært punkt har forskelligt fortegn, har f saddelpunkt i det punkt.
- Hvis mindst den ene af egenværdierne er lig med 0, vides det ikke om f har lokalt ekstremum, saddelpunkt eller ingen af delene i det punkt. Videre undersøgelse kræves.
Bestem egenværdierne for H i hvert af de stationære punkter. Stemmer resultatet med dine grafiske iagttagelser i spørgsmål G?
Opg 3: Lokale maksima og minima i to variable
Gentag undersøgelsen i opgave 2 med den følgende funktion: