\\

Opg 1: Opvarmningsopgave: Taylor i én variabel

Til funktionen f(x) knyttes et n’te-grads taylorpolynomium med udviklingspunkt i x0 ved formlen:

Pn(x,y)=f(x0)+f(x0)(xx0)+12!f(x0)(xx0)2++1n!f(n)(x0)(xx0)n.

Vi undersøger i det følgende funktionen

f(x)=x2ex.
A

Brug dit matematikværktøj til at tegne grafen for f i intervallet 2x10 og find grafisk lokale maksima og minima.

B

Bestem udtryk for f(x) og find stationære punkter ved at løse ligningen f(x)=0.

C

Afprøv nu f-kriteriet: Bestem fortegnet for den andenafledede af f i de stationære punkter og konkludér (hvis det er muligt).

D

Kig igen på grafen for f, og beskriv hvordan f karakteriserer funktionen i de stationære punkter.

E

Brug dit matematikværktøj til at beregne forskellige højeregrads taylorpolynomier, og plot dem sammen med den givne funktion. Prøv f.eks. P7(x) med forskellige udviklingspunkter. Har du kommentarer?

Opg 2: Lokale maksima og minima i to variable

Vi undersøger i denne opgave funktionen

f(x,y)=2x36xy+3y2.
A

Start med at tegne grafen for f når x[2,2] og y[2,2].

B

Find de partielle afledede for f både i hånden og med dit matematikværktøj.

C

Find de stationære punkter for f, både i hånden og med dit matematikværktøj.

Ved det approksimerende polynomium (Taylorpolynomiet) af første orden for en funktion f af to variable med udviklingspunktet (x0,y0) forstås funktionen:

P1(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(xx0).

Grafen for P1 kaldes tangentplanen.

D

Bestem det approksimerende polynomium (Taylorpolynomiet) af første orden for f med udviklingspunktet (12,12). Plot tangentplanen sammen med grafen for f.

E

Bestem det approksimerende polynomium (Taylorpolynomiet) af første orden for f med udviklingspunkt i hvert af de stationære punkter, plot dem sammen med grafen for f og kommentér.

F

Find de fire partielle afledede af anden orden for f både i hånden og med dit matematikværktøj, og opstil dem i den såkaldte hessematrix H.

Ved det approksimerende polynomium (Taylorpolynomiet) af anden orden for en funktion f af to variable med udviklingspunktet (x0,y0) forstås funktionen:

P2(x,y)=P1(x,y)+12[xx0yy0]H[xx0yy0].
G

Bestem det approksimerende polynomium (Taylorpolynomiet) af anden orden for f med udviklingspunkt i hvert af de stationære punkter, plot dem sammen med grafen for f og kommentér!

For en funktion af to variable svarer Determinant kriteriet til f-kriteriet for en funktion af én variabel. Det siger:

  1. Hvis Det(H)>0 i et stationært punkt, har f lokalt ekstremum i det punkt.
  2. Hvis Det(H)<0 i et stationært punkt, har f saddelpunkt i det punkt.
  3. Hvis Det(H)=0 i et stationært punkt, vides det ikke om f har lokalt ekstremum, saddelpunkt eller ingen af delene i det punkt. Videre undersøgelse kræves.
H

Bestem fortegnet for Det(H) i hvert af de stationære punkter. Stemmer resultatet med dine grafiske iagttagelser i spørgsmål G?

Determinant-kriteriet kan skærpes med egenværdi kriteriet: Det siger:

  1. Hvis begge egenværdier for H er positive i et stationært punkt, har f lokalt minimum i det punkt.
  2. Hvis begge egenværdier for H er negative i et stationært punkt, har f lokalt maksumum i det punkt.
  3. Hvis egenværdierne for H i et stationært punkt har forskelligt fortegn, har f saddelpunkt i det punkt.
  4. Hvis mindst den ene af egenværdierne er lig med 0, vides det ikke om f har lokalt ekstremum, saddelpunkt eller ingen af delene i det punkt. Videre undersøgelse kræves.
I

Bestem egenværdierne for H i hvert af de stationære punkter. Stemmer resultatet med dine grafiske iagttagelser i spørgsmål G?

Opg 3: Lokale maksima og minima i to variable

Gentag undersøgelsen i opgave 2 med den følgende funktion:

f(x,y)=xyex2+y22.