\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

$ $

Opg 1: Opvarmningsopgaver

A

Udfør matrixproduktet

$$\begin{matr}{rrr} 1&2&3\newline 0&1&2\end{matr}\cdot \begin{matr}{r} 2\newline 3\newline 4\end{matr}\,$$

B

Bestem determinanten af matricen

$$\mathbf A=\begin{matr}{rr} 1&2\newline 3&4\end{matr}\,$$

C

Kan du huske formlen for den inverse matrix af en vilkårlig 2x2-matrix $\,\mathbf A=\begin{matr}{rr} a&b\newline c&d\end{matr}\,?$

D

Bestem den inverse af matricen

$$\mathbf A=\begin{matr}{rr} 1&2\newline 3&4\end{matr}\,$$

E

Hvilken matrix får man hvis man ganger en $\,n\times n\,$ matrix med dens inverse matrix?

F

Ligningssystemet \begin{equation} \begin{aligned} 2x +3y-4z=-4\newline x+2y+z=8\newline 10x-y+z=11 \end{aligned} \end{equation}

har netop én løsning. Find løsningen vha. matrixregning på dit matematikværktøj.

Opg 2: To ligninger med to ubekendte

Der er givet ligningssystemet \begin{equation} \begin{aligned} x-y=30\newline x-4y=24 \end{aligned} \end{equation}

A

Løs ligningssystemet på to måder: Først ved hjælp af den inverse matrix til koefficientmatricen, dernæst ved hjælp af rækkeoperationer på totalmatricen.

Opg 3: Tre ligninger med tre ubekendte

Der er givet ligningssystemet \begin{equation} \begin{aligned} x+2y-4z=2\newline y-2z=-1\newline x+y-z=5 \end{aligned} \end{equation}

A

Løs ligningssystemet på to måder: Først ved hjælp af den inverse matrix til koefficientmatricen, dernæst ved hjælp af rækkeoperationer på totalmatricen.

Opg 4: Gauss-elimination

A

Find ved hjælp af Gauss-elimination samtlige løsninger til ligningssystemet \begin{equation} \begin{aligned} x-2y=1\newline -3x+6y=-3\newline \end{aligned} \end{equation}

B

Find ved hjælp af Gauss-elimination samtlige løsninger til ligningssystemet \begin{equation} \begin{aligned} x+y-2z=3\newline x+2y-3z=4\newline \end{aligned} \end{equation}