\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

$ $

Opg 1: Approksimerende polynomier (Taylorpolynomier)

En funktion $\,f\,$ er givet ved forskriften

$$f(x)=x\cdot\ln(x)+1\,,\,\,x\in\reel.$$
A

Bestem det approksimerende førsteordens polynomium $\,P_1\,$ for $\,f\,$ med udviklingspunktet $\,x_0=1\,.$ Tegn graferne for $\,f\,$ og $\,P_1\,$ i det samme koordinatsystem i intervallet $\,\left]\,0\,,\,3\,\right]\,.$

B

Bestem det approksimerende andenordens polynomium $\,P_2\,$ for $\,f\,$ med udviklingspunktet $\,x_0=1\,.$ Tegn graferne for $\,f\,$ og $\,P_2\,$ i det samme koordinatsystem i intervallet $\,\left]\,0\,,\,3\,\right]\,.$

C

Bestem det approksimerende tredjegradspolynomium $\,P_3\,$ for $\,f\,$ med udviklingspunktet $\,x_0=1\,.$ Tegn graferne for $\,f\,$ og $\,P_3\,$ i det samme koordinatsystem i intervallet $\,\left]\,0\,,\,3\,\right]\,.$

D

Hvad er den bemærkelsesværdige forskel mellem plottene i spørgsmål A, B og C?

Opg 2: $\,f’’$- kriteriet for lokalt ekstremum

En funktion $\,f\,$ er givet ved forskriften

$$f(x)=(x^2-3x+3)\cdot\e^x-2\,,\,\,x\in\reel.$$
A

Ved de stationære punkter for en differentiabel funktion forstås de tal hvori dens afledede er lig med $\,0\,.$ Vis at $\,f\,$ har to stationære punkter, $\,x_0=0\,$ og $\,x_1=1\,.$

B

Hvad karakteriserer tangenten til grafen for $\,f\,$ i de stationære punkter? Og hvorfor er det intuitivt klart at det kun er i stationære punkter der er mulighed for et lokalt minimum eller et lokalt maksimum?

C

Gælder der generelt at en funktion har lokalt ekstrema (enten lokalt minimum eller et lokalt maksimum) i et punkt hvori den har vandret tangent?

Lad $\,P_2(x)\,$ og $\,Q_2(x)\,$ betegne de approksimerende andenordenspolynomier for $\,f\,$ hvis udviklingspunkter er de stationære punkter for $\,f\,$, dvs. $\,x_0=0\,$ henholdsvis $\,x_1=1\,.$

C

Bestem forskrifterne for $\,P_2(x)\,$ og $\,Q_2(x)\,$ og plot dem sammen med grafen for $\,f\,$ i intervallet $\,\left[-2,2\right]\,.$

C

Graferne for $\,P_2(x)\,$ og $\,Q_2(x)\,$ er naturligvis parabler. Hvordan er fortegnet for $\,f’‘(x_0)\,$ og $\,f’‘(x_1)\,$ afgørende for parablernes udseende? Giv et forslag til en generel regel for sammenhængen mellem fortegnet for den dobbeltafledede i et punkt $\,x_0\,$ og grafen for det approksimerende andenordenspolynomium i $\,x_0\,.$

C

Ved $\,f’’$- kriteriet forstås en generel regel for sammenhængen mellem fortegnet for den dobbeltafledede i et stationært punkt $\,x_0\,$ og spørgsmålet om hvorvidt den givne funktion $\,f\,$ evt. har et lokalt ekstrum i $\,x_0\,.$ Giv dit bud på hvordan $\,f’’$-kriteriet kan formuleres ud fra observationerne i de foregående spørgsmål.

C

Plot grafen for $\,f(x)=(x-1)^3+1\,.$ Bestem $\,f’(1)\,$og $\,f’‘(1)\,$ og sammenhold med grafen. Angiv forskriften for det approksimerende 1.ordens- og 2.ordenspolynomium for $\,f\,$ med udviklingspunktet $\,x_0=1\,.$

Opg 3: Approksimation af sinus, grafisk undersøgelse

I denne opgave skal du med dit matematikværktøj undersøge hvor godt funktionen sinus egentlig approksimeres af sine taylorpolynomier.

A

Brug dit matematikværktøj til at finde det approksimerende polynomium af orden 9, $P_9(x)$, med udviklingspunkt $\,x_0=0\,$ for funktionen $\,\sin(x\,)$. Plot $\,\sin( x)\,$ og $\,P_9(x)\,$ i det samme koordinatsystem. Bestem den numeriske forskellen mellem $\,\sin( x)\,$ og $\,P_9(x)\,$ i punkterne $\,x=\frac 12\,\pi,x=\,\pi$ og $\,x=\frac 32\,\pi\,.$

B

Samme spørgsmål som i A, men hvor du erstatter $\,P_9(x)\,$ med $\,P_{13}(x)\,.$

C

Hvor langt ud til siderne kan man få taylorpolynomierne til at følge sinus hvis man hæver deres orden?

Opg 4: Udvikling af decimaler for tallet $\,\e$

Grundtallet $\,\e\,$ for den naturlige eksponentialfunktion er en vigtig matematisk konstant. Men tallet er irrationalt: $\,\e\notin \Bbb Q\,.$ Til gengæld er den naturlige eksponentialfunktion nem at differentiere, så vi kan sagtens finde dens taylorpolynomier. I denne opgave skal du bruge taylorpolynomierne til ved ren håndregning at finde decimaltals-approksimationer til $\,\e\,.$

Ideen er at der for funktionen $\,f(x)=\e^x\,$ gælder $\,f(1)=\e^1=\e\,$ og dermed $\,\e\approx P_n(1)\,.$

A

Tag et stykke papir og bestem taylorpolynomiet $\,P_4(x)\,$ af grad 4 for $\,f(x)=e^x\,$ med udviklingspunktet $\,x_0=0\,.$ Indsæt $\,x=1\,,$ skriv regnestykket ned på papiret og udregn så $\,P_4(x)\,.$ Bemærk at udregningen matematisk set er elementær brøkregning og division. Men brug gerne en lommeregner.

B

Den rigtige approksimation med 13 decimaler er $\,\e\approx 2.718281828459\,.$ Hvor mange decimaler fik du korrekte ved hjælp af $\,P_4(x)?$ Hvis vi gerne vil have $\,P_n (1)\,$ til at give værdien af $\,e\,$ med 4 korrekte decimaler, hvor lille grad ($n$-værdi) kan vi nøjes med?

C

Åbent spørgsmål: hvis man nu ikke kendte værdien af $\,\e\,$ med for eksempel 13 decimaler, hvordan kunne man så vide om man var kommet tæt på eller ej – og hvor tæt? [Svaret på dette spørgsmål siger noget om hvorfor det er vigtigt at uddanne matematikere der kan opdage og bevise generelle sætninger om opførslen af forskellige matematiske systemer, i dette tilfælde taylorrækker. For at svare på spørgsmålet ville det jo være godt at vide noget generelt om størrelsen af restleddet $\,f(x)-P_n (x)\,$, og den viden har matematikeren Lagrange sørget for for flere hundrede år siden]